Question

（理）已知等比数列{a_n}中，a₁=1，公比为q，且该数列各项的和为S，前n项和为s_n．若

lim

n→∞

(sn-as)=q，则实数a的取值范围是（　　）

• A．[

  3

  4

  ，3）
• B．（

  3

  4

  ，3）
• C．[

  3

  4

  ，1）∪（1，3）
• D．[

  3

  4

  ，1）∪（1，3]

Answer 1

分析：首先分析题目求公比q的取值范围，由有前题条件

lim

n→∞

(sn-as)=q，可以联想到把S_n，S_n=1列出关于q的表达式

解答：解：由题意该数列各项的和为S，且

lim

n→∞

(sn-as)=q，
可知数列的公比q∈（-1，1），
所以S=

a1

1-q

=

1

1-q

，Sn= 

a1(1-qn)

1-q

，
因为

lim

n→∞

(sn-as)=q=

lim

n→∞

(

a1(1-qn)

1-q

-as)=

1

1-q

-

a

1-q

，
1-a=q（1-q），
a=q²-q+1，因为q∈（-1，1），函数开口向下，
当q=

1

2

时a取得最小值

3

4

，当a=-1时，a取得最大值：3，
所以a∈[

3

4

，3），
故选A．

点评：此题主要考查极限及其运算，其中涉及到等比数列前n项和的求法，考查逻辑推理能力，属于综合题目有一定的计算量．