Question

19．已知函数f（x）=ax²+bx+c，若f（1）=0，且a＞b＞c，求证：方程f（x）=0必有两个不等实数根．

Answer 1

分析 根据条件可以判断出函数f（x）为二次函数，并且可得到b=-a-c，从而可以得到△=（a-c）²，而a＞c，这样便可得到△＞0，从而便得出方程f（x）=0有两个不等实数根．

解答 证明：f（1）=0；
∴a+b+c=0；
∵a＞b＞c；
∴a＞0；
∴f（x）为二次函数；
b=-a-c；
∴b²=a²+2ac+c²；
∴△=b²-4ac=a²-2ac+c²=（a-c）²；
∵a＞c；
∴（a-c）²＞0；
即△＞0；
∴方程f（x）=0必有两个不等实数根．

点评 考查f（x）=ax²+bx+c若表示二次函数，需满足a≠0，完全平方公式的运用，以及一元二次方程的实数根的个数和判别式△取值的关系．