Question

18．已知幂函数$f（x）={x^{{m^2}-2m-3}}（m∈Z）$为偶函数，且在区间（0，+∞）上减函数，则m的值为（　　）

• A． -1＜m＜3
• B． 1
• C． 1或2
• D． 0或1或2

Answer 1

分析 根据幂函数的奇偶性和单调性的性质进行求解即可．

解答 解：∵幂函数$f（x）={x^{{m^2}-2m-3}}（m∈Z）$在区间（0，+∞）上减函数，
∴m²-2m-3＜0，得-1＜m＜3，
∵m∈Z，∴m=0，1，2，
若m=0，则函数f（x）=x^-3=$\frac{1}{{x}^{3}}$为奇函数，不满足条件．
若m=1，则函数f（x）=x^-4=$\frac{1}{{x}^{4}}$为偶函数，满足条件．
若m=2，则函数f（x）=x^-3=$\frac{1}{{x}^{3}}$为奇函数，不满足条件．
故m=1，
故选：B

点评 本题主要考查幂函数的应用，根据幂函数的单调性和奇偶性的性质建立不等式关系和方程关系是解决本题的关键．