Question

设定义在R上的奇函数f（x）满足，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x2-x1

＜0，且f（2）=0，则不等式

3f(-x)-2f(x)

5x

≤0的解集为（　　）

A．（-∞，-2]∪（0，2]

B．[-2，0]∪[2，+∞）

C．（-∞，-2]∪[2，+∞）

D．[-2，0）∪（0，2]

Answer 1

分析：由题意可得，函数的图象关于原点对称，函数在（0，+∞）上是增函数，函数在（-∞，0）上也是增函数．由不等式

3f(-x)-2f(x)

5x

≤0 可得

f(x)

x

≥0，再由f（2）=-f（-2）=0，数形结合可得不等式的解集．

解答：解：由题意可得，函数的图象关于原点对称，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂ ，
都有图象上任意两点连线的斜率k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，故函数在（0，+∞）上是增函数，
故函数在（-∞，0）上也是增函数．
由不等式

3f(-x)-2f(x)

5x

≤0 可得 

-5f(x)

5x

≤0，

f(x)

x

≥0．
再由f（2）=0可得f（-2）=0，故有不等式结合图象可得x≥2，或 x≤-2，
故选C．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，其它不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．