Question

（2012•江西模拟）已知

i

，

j

是x，y轴正方向的单位向量，设

a

=x

i

+(y-1)

j

，

b

=x

i

+(y+1)

j

，且满足|

a

|+|

b

|=2

2

．
（1）求点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）设点F（0，1），点A、B、C、D在曲线C上，若

AF

与

FB

共线，

CF

与

FD

共线，且

AF

•

CF

=0，求四边形ACBD的面积的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）条件|

a

|+|

b

|=2

2

可以看成是动点到两定点的距离之和为2

2

，联想椭圆的定义解决“点P（x，y）的轨迹C”；
（2）设出AB的方程，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可表示出四边形ACBD的面积，再将四边形ACBD的面积取到最值问题，要先建立关于某个自变量的函数，后再求此函数的最值即可．

解答：解：（1）∵|a|+|b|=2

2

，
∴

x2+(y-1)2

+

x2+(y+1)2

=2

2

由椭圆的定义可知，动点P（x，y）的轨迹方程x2+

y2

2

=1．
（2）直线AB，CD中至少有一条存在斜率，不妨设AB的斜率为k，
故AB的方程为y=kx+1，将此式子代入椭圆方程得（2+k²）x²+2kx-1=0，
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1=

-k- 2k2+2

2+k2

，x2=

-k+ 2k2+2

2+k2

，
从而|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=

8(1+k2)2

(2+k2)2

，即|AB|=

2 2 (1+k2)

2+k2

①当k≠0时，CD的斜率为-

1

k

，同上可得|CD|=

2 2 (1+(- 1 k )2)

2+(- 1 k )2

，
故四边形ABCD面积为：
S=

4(2+k2+ 1 k2 )

5+2k2+ 2 k2

，令u=k2+

1

k2

≥2，得S=

4(2+u)

5+u

=2(1-

1

5+2u

)，
∴

16

9

≤S＜2．
②当k=0时，易得S=2．
故四边形ABCD面积的最小值和最大值分别为

16

9

和2．

点评：（1）平面向量与解析几何的结合通常涉及轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题．（2）直线l与点P的轨迹的交点问题，组成方程组解决．