Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₃是a₁和a₉的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，f(n)=

Sn	(n+18)Sn+1

，试问当n为何值时，f（n）最大？并求出f（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）利用等差数列的前n项和公式可得S_n，再利用基本不等式即可得出f（n）．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差d≠0，∵a₁=1，且a₃是a₁和a₉的等比中项，∴

a

2 3

=a1a9．
化为（1+2d）²=1×（1+8d），化为d²-d=0，∵d≠0，∴d=1．
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）由（1）可得：数列{a_n}的前n项和为S_n=

n(n+1)

2

．
∴f(n)=

Sn

(n+18)Sn+1

=

n(n+1) 2

(n+18)× (n+1)(n+2) 2

=

n

(n+18)(n+2)

=

1

n+ 36 n +20

≤

1

2 36 +20

=

1

32

，当且仅当n=6时取等号．
因此当n=6时，f（n）取得最大值

1

32

．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、基本不等式，属于中档题．