Question

7．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点（5，m）到焦点的距离为6，P，Q分别为抛物线C与圆M：（x-6）²+y²=1上的动点，当|PQ|取得最小值时，向量$\overrightarrow{PQ}$在x轴正方向上的投影为（　　）

• A． 2-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$-1
• C． 1-$\frac{{\sqrt{21}}}{21}$
• D． $\sqrt{21}$-1

Answer 1

分析 利用抛物线的定义，求得p的值，由利用两点之间的距离公式求得丨PM丨，根据二次函数的性质，求得丨PM丨_min，由|PQ|取得最小值为丨PM丨_min-1，求得P点坐标，求得cos∠PMO，则向量$\overrightarrow{PQ}$在x轴正方向上的投影丨$\overrightarrow{PQ}$丨×cos∠PMO．

解答 解：由抛物线C：y²=2px（p＞0）焦点在x轴上，准线方程x=-$\frac{p}{2}$，
则点（5，m）到焦点的距离为d=5+$\frac{p}{2}$=6，
则p=2，
∴抛物线方程：y²=4x，
设P（x，y），圆M：（x-6）²+y²=1圆心为（6，1），半径为1，
则丨PM丨=$\sqrt{（x-6）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-6）^{2}+4x}$=$\sqrt{（x-4）^{2}+20}$，
当x=4时，丨PQ丨取最小值，最小值为$\sqrt{20}$-1=2$\sqrt{5}$-1，
设P（4，-4），则直线PM的斜率为2，即tan∠PMO=2，
则cos∠PMO=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
故当|PQ|取得最小值时，向量$\overrightarrow{PQ}$在x轴正方向上的投影（2$\sqrt{5}$-1）×cos∠PMO=2-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故选A．

点评 本题考查抛物线的标准方程，两点之间的距离公式，二次函数的性质，考查向量投影的求法，考查计算能力，属于中档题．