Question

已知双曲线的渐近线方程y=±

2

3

x，且过点（3，4），则双曲线的标准方程为

y2

12

-

x2

27

=1

．

Answer 1

分析：根据双曲线的渐近线方程y=±

2

3

x，设其方程为（y+

2

3

x）（y-

2

3

x）=λ（λ≠0），将点（3，4）代入算出λ=12，可得双曲线方程为y2-

4

9

x2=12，再化成标准方程可得答案．

解答：解：∵双曲线的渐近线方程y=±

2

3

x，即（y+

2

3

x）（y-

2

3

x）=0，
∴设双曲线的方程为（y+

2

3

x）（y-

2

3

x）=λ（λ≠0），即y2-

4

9

x2=λ，
∵点（3，4）在双曲线上，∴42-

4

9

×32=λ，解之得λ=12．
因此，双曲线的方程为y2-

4

9

x2=12，化成标准方程得

y2

12

-

x2

27

=1．
故答案为：

y2

12

-

x2

27

=1

点评：本题给出双曲线经过定点，在已知渐近线的情况下求双曲线的标准方程．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．