Question

设P为曲线C：y=e^x上的点，若曲线C在点P处的切线不经过第四象限，则该切线的斜率的取值范围是

（0，e]

．

Answer 1

分析：欲求曲线C在点P处的切线不经过第四象限，该切线的斜率的取值范围，先设切点的坐标为（ ${x_0}，{e^{x_0}}）$，，再求出在点切点（ ${x_0}，{e^{x_0}}）$处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x₀处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题．

解答：解：y′=e^x
设切点的坐标为（x₀，e^x₀），切线的斜率为k，
则k=e^x₀，故切线方程为y-e^x₀=e^x₀（x-x₀）
又切线过原点，∴-e^x₀=e^x₀（-x₀），
∴x₀=1，y₀=e，k=e．
若曲线C在点P处的切线不经过第四象限，则该切线的斜率的取值范围是（0，e]．
故答案为：（0，e]．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．