Question

在平面直角坐标系xOy中，点F与点E（-，0）关于原点O对称，M是动点，且直线EM与FM的斜率之积等于．设点M的轨迹为曲线C，经过点且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）设A，曲线C与y轴正半轴的交点为B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设点M（x，y），由题意得点F（，0），，化简可得 x²+y²=2，
故曲线C的方程为 x²+y²=2，表示以原点为圆心，以为半径的圆．
（Ⅱ）∵点是圆和y轴的交点，经过点且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，
∴线l与曲线C不能相切，∴k≠0．
（Ⅲ） 把直线l的方程 y-=k（x-0）代入曲线C的方程 x²+y²=2 得，（1+k²）x²+2kx=0．
设P（x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂），则 x₁+x₂=-，x₁•x₂=0．
∴=（x₁+x₂，kx₁++kx₂+ ）=（， ）．
由B（0，），A，∴=（-， ）．∵向量与共线，
∴•-（-）（ ）=0，=0，∴k=1．
即存在常数 k=1 满足题中的条件．
分析：（Ⅰ）设点M（x，y），由题意得点F（，0），，化简可得曲线C的方程．
（Ⅱ） 直线l经过圆和y轴的交点（0，），直线l与曲线C有两个不同的交点，故直线l与曲线C不能相切，k≠0．
（Ⅲ） 把直线l的方程代入曲线C的方程，利用根与系数的关系，求得 的坐标，再利用
与共线，求出 k值．
点评：本题考查直接利用条件求点的轨迹方程的方法，向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，准确计算是解题的难点．