Question

19．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（I）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数；
（II）判断函数的奇偶性，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义进行证明即可．
（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．

解答 解：（1）证明：设x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$+x₁-（$\frac{1}{{x}_{2}}$+x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$+（x₁-x₂）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
则函数f（x）在（0，1）上的单调递减．
（2）函数的定义域为{x|x≠0}，
则f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x），
则函数f（x）是奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．