Question

（2009•朝阳区二模）已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，右准线与一条渐近线的交点坐标为(

4

3

，

2 5

3

)．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）过右焦点F的直线l（不与x轴重合）与双曲线C交于M，N两点，且直线AM、AN分别交双曲线C的右准线于P、Q两点，求证：

AP

•

AQ

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）双曲线C的右准线为x=

a2

c

，渐近线为y=±

b

a

x．再由右准线与一条渐近线的交点坐标为(

4

3

，

2 5

3

)，解得a²=4，b²=5，c²=9．由此能求出双曲线C的方程． 
（Ⅱ）由点F，A的坐标分别为（3，0），（-2，0），右准线为x=

4

3

．知当直线l斜率不存在时，点M，N的坐标分别为(3，

5

2

)，(3，-

5

2

)，则直线AM，AN方程分别为y=

1

2

(x+2)，y=-

1

2

(x+2)，

AP

•

AQ

=(

10

3

，

5

3

)•(

10

3

，-

5

3

)=

25

3

．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3）（k≠0），由

x2 4 - y2 5 =1 y=k(x-3)

得（4k²-5）x²-24k²x+36k²+20=0．由此入手也能推导出

AP

•

AQ

=

25

3

．由此能够证明

AP

•

AQ

为定值．

解答：（Ⅰ）解：双曲线C的右准线为x=

a2

c

，渐近线为y=±

b

a

x．
因为右准线与一条渐近线的交点坐标为(

4

3

，

2 5

3

)，
所以

c2=a2+b2 a2 c = 4 3 b a • a2 c = 2 5 3

，
解得a²=4，b²=5，c²=9．
于是，双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

5

=1．            …（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知点F，A的坐标分别为（3，0），（-2，0），右准线为x=

4

3

．
当直线l斜率不存在时，点M，N的坐标分别为(3，

5

2

)，(3，-

5

2

)，
则直线AM，AN方程分别为y=

1

2

(x+2)，y=-

1

2

(x+2)，
令x=

4

3

，得P，Q的坐标分别为(

4

3

，

5

3

)，(

4

3

，-

5

3

)，
此时

AP

•

AQ

=(

10

3

，

5

3

)•(

10

3

，-

5

3

)=

25

3

．
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=k（x-3）（k≠0），
由

x2 4 - y2 5 =1 y=k(x-3)

，
得（4k²-5）x²-24k²x+36k²+20=0．
因为直线l与双曲线C交于M，N两点，
所以4k²-5≠0，△=24²k⁴-4（4k²-5）（36k²+20）=400（k²+1）＞0，
解得k≠±

5

2

．
设M，N两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1+x2=

24k2

4k2-5

，x1x2=

36k2+20

4k2-5

，
y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．
则直线AM，AN方程分别为y=

y1

x1+2

(x+2)，y=

y2

x2+2

(x+2)，
令x=

4

3

，得P，Q的坐标分别为(

4

3

，

10y1

3(x1+2)

)，(

4

3

，

10y2

3(x2+2)

)，
所以

AP

•

AQ

=(

10

3

，

10y1

3(x1+2)

)•(

10

3

，

10y2

3(x2+2)

)=

100

9

[1+

y1y2

(x1+2)(x2+2)

]
=

100

9

[1+

k2x1x2-3k2(x1+x2)+9k2

x1x2+2(x1+x2)+4

]
=

100

9

[1+

k2( 36k2+20 4k2-5 - 72k2 4k2-5 +9)

36k2+20 4k2-5 + 48k2 4k2-5 +4

]
=

100

9

(1+

-25k2 4k2-5

100k2 4k2-5

)=

25

3

．
所以，

AP

•

AQ

为定值

25

3

．                 …（13分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，难度大，是高考的重点，易出错．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．