Question

在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，且2cos（B-C）-1=4cosBcosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，2sinB=sinC，求b，c．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,两角和与差的余弦函数

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）由两角和差的余弦公式，以及诱导公式，即可求得角A；
（Ⅱ）运用余弦定理和正弦定理，解关于b，c的方程，即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）2cos（B-C）-1=4cosBcosC，
即为2cosBcosC+2sinBsinC-1=4cosBcosC，
2（cosBcosC-sinBsinC）=-1，
即cos（B+C）=-

1

2

，即cosA=

1

2

，
由于A为三角形的内角，则A=

π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA，
即9=b²+c²-2bccos

π

3

，
b²+c²-bc=9，
又2sinB=sinC，由正弦定理可得，2c=b，
解得，b=2

3

，c=

3

．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查两角和差的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．