Question

10．命题p：函数f（x）=lg（ax²+2x+1）的定义域为R；命题q：函数g（x）=$\frac{x+a}{x-2}$在（2，+∞）上是增函数，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值．

Answer 1

分析 由函数恒成立和单调性分别可得pq为真时a的范围，由命题真假可得pq一真一假，分类讨论由集合的运算可得．

解答 解：∵函数f（x）=lg（ax²+2x+1）的定义域为R，
∴x取任意实数ax²+2x+1恒大于0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a＞1，
故命题p为真时，a＞1；
∵函数g（x）=$\frac{x+a}{x-2}$=$\frac{x-2+a+2}{x-2}$=1+$\frac{a+2}{x-2}$在（2，+∞）上是增函数，
∴a+2＜0，解得a＜-2，故命题q为真时，a＜-2；
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴pq一真一假，
当p真q假时，由{a|a＞1}∩{a|a≥-2}={a|a＞1}；
当p假q真时，由{a|a≤1}∩{a|a＜-2}={a|a＜-2}；
综上可得实数a的取值范围为a＜-2或a＞1．

点评 本题考查符合命题的真假，涉及函数恒成立和单调性以及集合的运算，属中档题．