Question

15．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和T_n=2ⁿ-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得n=1，可得a₁=1或b₁=1；再将n换为n-1，相减即可得到所求通项；
（Ⅱ）求得a_n•b_n=（2n+1）•2^n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1+2=3，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
对n=1也成立，则a_n=2n+1（n∈N^*）；
当n=1时，b₁=T₁=2-1=1，
当n＞1时，b_n=T_n-T_n-1=2ⁿ-1-2^n-1+1=2^n-1，
对n=1也成立，则b_n=2^n-1（n∈N^*）；
（Ⅱ）a_n•b_n=（2n+1）•2^n-1，
则前n项和为M_n=3•1+5•2+7•4+…+（2n+1）•2^n-1，
2M_n=3•2+5•4+7•8+…+（2n+1）•2ⁿ，
两式相减，可得-M_n=3+2（2+4+8+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ
=3+2•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+1）•2ⁿ，
化简可得，M_n=1+（2n-1）•2ⁿ．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．