Question

3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥侧面BB₁C₁C，AC⊥CC₁．
（1）求证：平面A₁BC₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）若点M在棱AC上，且$\frac{AM}{MC}$=$\frac{2}{3}$，试问：在棱B₁C₁上是否存在一点N，使得直线MN∥平面ABB₁A₁？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥平面BB₁C₁C，从而A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，由此能证明平面A₁BC₁⊥平面BB₁C₁C．
（2）过M作MO∥AB，交AB于O，过O作ON∥BB₁，交B₁C₁于N，N点即为所求点．

解答 证明：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥侧面BB₁C₁C，AC⊥CC₁，
∴AC⊥平面BB₁C₁C，
∵AC∥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，
∵A₁C₁?平面A₁BC₁，∴平面A₁BC₁⊥平面BB₁C₁C．
解：（2）过M作MO∥AB，交AB于O，过O作ON∥BB₁，交B₁C₁于N，N点即为所求点，
∵MO∥AB，ON∥BB₁，MO∩ON=O，
∴平面MON∥平面ABB₁A₁，
又MN?平面MON，
∴点N使得直线MN∥平面ABB₁A₁．
∵$\frac{AM}{MC}$=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{BO}{OC}=\frac{{B}_{1}N}{N{C}_{1}}$=$\frac{2}{3}$．
∴棱B₁C₁上存在一点N，使得直线MN∥平面ABB₁A₁，且$\frac{{B}_{1}N}{N{C}_{1}}=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查使得线面平行的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．