Question

设f(x)是x的三次多项式，已知

==1.试求的值(a为非零常数).

Answer 1

解:由于=1,可知f(2a)=0.         ①

    同理,f(4a)=0.                                       ②

    由①②，可知f(x)必含有(x-2a)与(x-4a)的因式.

    由于f(x)是x的三次多项式，

    故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C).

    这里A、C均为待定的常数.

    由=1,即

   

    =A(x-4a)(x-C)

    =1,

    得A(2a-4a)(2a-C)=1,

    即4a²A-2aCA=-1.                                ③

    同理，由于=1,

    得A(4a-2a)(4a-C)=1,

    即8a²A-2aCA=1.                                 ④

    由③④得C=3a,A=,

    因而f(x)=(x-2a)(x-4a)(x-3a).

    ∴=(x-2a)(x-4a)

    =·a·(-a)

   =-.