Question

已知直线l₁为曲线f（x）=x³+x-2在点（1，0）处的切线，直线l₂为该曲线的另一条切线，且l₂的斜率为1
（Ⅰ）求直线l₁、l₂的方程
（Ⅱ）求由直线l₁、l₂和x轴所围成的三角形面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），把x=1代入导函数即可求出直线l₁的斜率，然后根据斜率和（1，0）写出直线l₁的方程即可；设直线l₂与曲线相切的切点坐标，将横坐标代入导函数即可表示出直线l₂的斜率，又l₂的斜率为1，列出关于横坐标的方程，求出解得到切点的横坐标，代入f（x）中求得纵坐标，然后根据切点坐标和直线的斜率为1写出直线l₂的方程即可；（Ⅱ）联立两条直线方程求出交点坐标(

2

3

，-

4

3

)，然后分别求出两直线与x轴的交点坐标为（1，0）和（2，0），三角形以|2-1|长为底，交点的纵坐标|-

4

3

|为高，根据三角形的面积公式即可求出面积．

解答：解：（Ⅰ）求得f'（x）=3x²+1．
∵（1，0）在曲线上，∴直线l₁的斜率为k₁=f'（1）=4
所以直线l₁的方程为y=4（x-1）即y=4x-4
设直线l₂过曲线f（x）上的点P（x₀，y₀），
则直线l₂的斜率为k₂=f'（x₀）=3x₀²+1=1
解得x₀=0，y₀=x₀³+x₀-2=-2即P（0，-2）
∴l₂的方程y=x-2
（Ⅱ）直线l₁、l₂的交点坐标为(

2

3

，-

4

3

)
直线l₁、l₂和x轴的交点分别为（1，0）和（2，0）
所以所求的三角形面积为S=

1

2

×|2-1|×|-

4

3

|=

2

3

点评：此题是一道综合题，要求学生会根据导数研究曲线上某点的切线方程，会求两条直线的交点坐标．