Question

半径为R的圆外接于△ABC，且2R（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB．
（1）求角C；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把b=2RsinB，a=2RsinA代入已知等式并应用正弦定理得 a²+b²-c²=ab，由余弦定理 可求cosC，可求C，
（2）由ab=a²+b²-c²，利用基本不等式求得ab最大值，从而求得△ABC面积的最大值
解答：解：（1）由正弦定理可得a=2RsinB，c=2RsinC
代入已知等式得 2R（sin²A-2sin²C）=（）sinB=sinAsinB-sin²B，
∴sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB，
∴a²+b²-c²=ab，
∴cosC==
∴C=30°．
（2）∵ab=（a²+b²-c²）=（a²+b²-2RsinC）²=（a²+b²-R）≥（2ab-R），
∴ab≤（2+）R（当且仅当a=b时，取等号），
∴△ABC面积的最大值为S===
点评：本题考查正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，求出ab≤（2+）R是解题的难点．