Question

已知a＞b＞c,且f(x)=(a-b)x²+(c-a)x+(b-c).

(1)求证：方程f(x)=0总有两个正根；

(2)求不等式f(x)≤0的解集；

(3)求使f(x)＞(a-b)(x-1)对于3b≤2a+c恒成立的x的取值范围.

Answer 1

(1)证明：方程f(x)=0,

即(a-b)x²+(c-a)x+(b-c)=0,

即［(a-b)x-(b-c)］(x-1)=0.

所以方程f(x)=0的两根为x₁=,x₂=1.

因为a＞b＞c，所以＞0.

故方程f(x)=0总有两个正根.

解析：(2)f(x)≤0,即［（a-b）x-(b-c)］(x-1)≤0.

当＞1,即b＞时，不等式的解集为｛x|1≤x≤｝;

当＜1,即b＞时，不等式的解集为｛x|≤x≤1｝;

当=1,即b=时，不等式的解集为｛x|x=1｝.

(3)f(x)＞(a-b)(x-1),

即(a-b)x²+(b+c-2a)x+a-c＞0,

即［(a-b)x-(a-c)］(x-1)＞0.

因为a＞b＞c，所以＞1.

所以x＞,或x＜1恒成立.

又3b≤2a+c,即2(a-b)≥b-c,≤2,

所以==1+≤3.

所以x＞3,或x＜1.

故使f(x)＞(a-b)(x-1)对于3b≤2a+c恒成立的x的取值范围是（-∞,1）∪(3,+∞).