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已知向量
m
=(cosx,-1),向量
n
=(
3
sinx,-
1
2
),函数f(x)=(
m
+
n
)•
m

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期T;
(Ⅱ)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=1,c=
3
,且f(A)恰是f(x)在[0,
π
2
]上的最大值,求A,b和△ABC的面积.
分析:(I)根据向量数量积的坐标公式,并且结合三角函数的降次公式和辅助角公式化简,得f(x)=sin(2x+
π
6
)+2,再结合三角函数的周期公式,即可得到f(x)的最小正周期T;
(II)根据(I)的表达式并且A为锐角,得当A=
π
6
时,f(x)有最大值3,结合余弦定理和题中数据列式,解出b=1或b=2,最后利用正弦定理可得△ABC的面积.
解答:解:(Ⅰ)∵
m
+
n
=(cosx+
3
sinx,-
3
2

∴(
m
+
n
)•
m
=cosx(cosx+
3
sinx)+
3
2
=
1
2
(1+cos2x)+
3
2
sin2x+
3
2
…(2分)
∴f(x)=
1
2
(1+cos2x)+
3
2
sin2x+
3
2
=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x+2=sin(2x+
π
6
)+2…(5分).
∴f(x)的最小正周期T=
2
=π.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(A)=sin(2A+
π
6
)+2
∵A为锐角,
π
6
<2A+
π
6
6

∴当2A+
π
6
=
π
2
时,即A=
π
6
时,f(x)有最大值3,…(8分)
由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,
1=b2+3-2×
3
×b×cos
π
6
,∴b=1或b=2,…(10分)
∵△ABC的面积S=
1
2
bcsinA
∴当b=1时,S=
1
2
×1×
3
×sin
π
6
=
3
4
;当当b=2时,S=
1
2
×2×
3
×sin
π
6
=
3
2
.…(12分)
综上所述,得A=
π
6
,b=1,S△ABC=
3
4
或A=
π
6
,b=2,S△ABC=
3
2
点评:本题是一道三角函数综合题,着重考查了运用正余弦定理解三角形、三角函数的周期性及其求法、三角恒等变形和平面向量数量积的运算等知识点,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(cos θ,sin θ)
n
=(
2
-sin θ,cos θ)
,θ∈(π,2π),且|
m
+
n
|=
8
2
5
,求sinθ和cos(
θ
2
+
π
8
)
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(cosα-
2
3
,-1),
n
=(sinα,1)
m
n
α∈(-
π
2
,0)

(1)求sinα-cosα的值.
(2)求
1+sin2α+cos2α
1+tanα
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(cosωx,sinωx)
n
=(cosωx,
3
cosωx)
,设函数f(x)=
m
n

(1)若f(x)的最小正周期是2π,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)的图象的一条对称轴是x=
π
6
,(0<ω<2),求f(x)的周期和值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(cosα-
2
3
,-1),
n
=(sinα,1),
m
n
为共线向量,且α∈[-π,0].
(Ⅰ)求sinα+cosα的值
(Ⅱ)求
sin2α
sinα-cosα
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(cosθ,sinθ),
n
=(1-
3
sinθ,
3
cosθ)
,θ∈(0,π),若|
m
+
n
|=2
2
,求cos(
θ
2
+
π
6
)
的值.

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