Question

已知向量

m

=(cosωx，sinωx)，

n

=(cosωx，

3

cosωx)，设函数f(x)=

m

•

n

．
（1）若f（x）的最小正周期是2π，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的图象的一条对称轴是x=

π

6

，（0＜ω＜2），求f（x）的周期和值域．

Answer 1

分析：（1）若函数的最小正周期为2π，结合正弦型函数中T=

2π

ω

，我们易求出ω的值，进行给出函数的解析式，然后再根据正弦型函数求单调区间的方法，即可求出f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的图象的一条对称轴是x=

π

6

，（0＜ω＜2），则当x=

π

6

时，函数的相位角，应落在Y轴上，根据（0＜ω＜2）我们易给出ω的值，然后求出函数的解析式，然后再根据正弦型函数求周期和值域的方法，即可求出f（x）的周期和值域．

解答：解：（1）f(x)=cos2x+

3

sinωx•cosωx
=

cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx+

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

∵T=

2π

2ω

=2π∴ω=

1

2

则f(x)=sin(x+

π

6

)+

1

2

由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]为单调递增区间；
（2）∵x=

π

6

是函数的一条对称轴
∴2ω×

π

6

+

π

6

=kπ+

π

2

∴ω=3k+1
又∵0＜ω＜2∴当k=0时，ω=1
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

∴周期为π，值域为[-

1

2

，

3

2

]．

点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为-|A|，周期T=

2π

ω

进行求解．如果求其在区间上的值域和最值，则要结合图象进行讨论．