Question

已知直三棱柱中, , ， 是和的交点, 若.
（1）求的长； （2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

Answer 1

(1) AC="3" (2) CD=    (3)正弦大小为 

本试题主要考查了距离和角的求解运用。第一问中，利用ACCA为正方形, AC=3
第二问中，利用面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD=，第三问中，利用三垂线定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值为
解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC="3" ……………  5分
(2)在面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD= … 8分
(3) 易得AC面ACB, 过E作EHAB于H, 连HC, 则HCAB
CHE为二面角C－AB－C的平面角. ………  9分
sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为 ……… 12分
解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|="h," 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分
="(2," －, －), ="(0," －3, －h)  ……… 4分
·=0, h=3
(2)设平面ABC得法向量="(a," b, c),则可求得="(3," 4, 0) (令a=3)
点A到平面ABC的距离为H=||=……… 8分
(3) 设平面ABC的法向量为="(x," y, z),则可求得="(0," 1, 1) (令z=1)
二面角C－AB－C的大小满足cos== ………  11分
二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为