Question

将数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形形状．
（Ⅰ）若数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，写出图中第5行第5个数；
（Ⅱ）若函数f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且f（1）=n²，求数列{a_n}的通项公式；
（III）设T_m为第m行所有项的和，在（II）的条件下，用含m的代数式表示T_m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用条件求出数列{a_n}的通项，再判断出第5行第5个数是数列{a_n}的第15项即可．
（Ⅱ）由f（1）=n²?a₁+a₂+a₃++a_n=n²．就是已知数列{a_n}的前n项和求其通项公式．代a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）最后检验n=1时通项是否成立即可．
（III）由（Ⅱ）知数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．且第m行所有项构成一个新的首项为m²-m+1，公差为2的等差数列，代入等差数列的求和公式即可．

解答：解：（Ⅰ）由题求得a_n=1+2（n-1）=2n-1，
又因为第5行第5个数是数列{a_n}的第15个项，
所以第5行第5个数是29．（2分）
（II）由f（1）=n²，得a₁+a₂+a₃++a_n=n²．（3分）
设S_n是数列{a_n}的前n项和，
∴S_n=n²．
当n=1时，a₁=S₁=1，（5分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．（6分）
又当n=1时，2n-1=1=a₁，
∴a_n=2n-1（n=1，2，）．（8分）
即数列{a_n}的通项公式是a_n=2n-1．
（III）由（II）知数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．（9分）
∵前m-1行共有项1+2+3++(m-1)=

1+(m-1)

2

×(m-1)=

m2-m

2

，
∴第m行的第一项为a

m2-m

2

+1=2×(

m2-m

2

+1)-1=m2-m+1．（11分）
∴第m行构成首项为m²-m+1，公差为2的等差数列，且有m项．
∴Tm=(m2-m+1)×m+

m(m-1)

2

×2=m3．（13分）

点评：本题是对数列知识的综合考查．且考查了已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式，根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）；若不成立，则通项公式为分段函数．