Question

已知f(x)=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且a₁，a₂，a₃，…，a_n组成等差数列，n为正偶数，又f(1)=n²，f(-1)=n．

a₁

a₂    a₃

a₄    a₅    a₆

a₇    a₈    a₉    a₁₀

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)将数列{a_n}的各项排成三角形状(如图)，记A(i，j)为第i行第j个数，例如：A(4，3)=a₉，求A(10，1)+A(10，2)+…+A(10，10)；

(3)若b_n=,c_n=,T_n为数列{c_n}的前n项和，若T_n＜λ(b_n+1+1)，对一切n∈N^*都成立，试求λ的取值范围．

Answer 1

解: (1)由f(1)=n²得:a₁+a₂+…+a_n=n²

由f(-1)=n得:-a₁+a2-…+a_n=n

∴a₁+a₃+…+a_n-1=

a₂+a₄+…+a_n=,设公差为d,

两式相减得:d=2,又a₁=1,∴a_n=2n-1.

(2)第10行前(不包括第10行)共1+2+3+4+5+6+7+8+9=45个数

∵A(10,1)=a₄₆=2×46-1=91

∴A(10,1)+A(10,2)+A(10,3)+A(10,4)+A(10,5)+A(10,6)+A(10,7)+A(10,8)+A(10,9)+A(10,10)

=10a₄₆=×10×9×d=1000

(3)b_n=,当n≥2时,

C_n=

∴T_n=

   =

由T_n＜λ(b_n+1+1)得＜λ

∴λ＞

∵n+≥4当且仅当n=2时“=”成立

∴

因此λ＞,即λ的取值范围是（,+∞）.