Question

已知数列{ a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n+3=3a_n（n∈N^*），{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₄=a₁+4．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用数列{a_n}的前n项和2S_n+3=3a_n再写一式，两式相减可得数列{a_n}是等比数列，从而可得数列{a_n}的通项公式；求出等差数列{b_n}的首项，公差，从而可得{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，可得数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

解答：解：（I）∵数列{a_n}的前n项和2S_n+3=3a_n（n∈N^*），∴n≥2时，2S_n-1+3=3a_n-1（n∈N^*），
∴两式相减可得2a_n=3a_n-3a_n-1，∴a_n=3a_n-1（n≥2）
∵n=1时，∴a₁=3，a₂=9
∴数列{a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列
∴a_n=3ⁿ；
∵{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₄=a₁+4，b₂=9，b₄=7，公差为-1，的等差数列
∴b₁=10，
∴b_n=10-（n-1）=11-n．
（II）c_n=a_nb_n=（11-n）•3ⁿ
∴T_n=10•3+9•3²+…+（11-n）•3ⁿ
∴3T_n=10•3²+9•3³+…+（12-n）•3ⁿ+（11-n）•3ⁿ⁺¹
两式相减可得-2T_n=30-3²-3³-…-3ⁿ-（11-n）•3ⁿ⁺¹=30-

3n+1-9

2

-（11-n）•3ⁿ⁺¹
∴T_n=（

21

4

-

n

2

）•3ⁿ⁺¹-

69

4

点评：本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法，考查学生的计算能力，属于中档题．