Question

在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，P为AB的中点，Q为CD₁的中点．
（1）求证：DP⊥平面A₁ABB₁；
（2）求证：PQ∥平面ADD₁A₁．

Answer 1

分析：（1）利用菱形和等边三角形的性质、线面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质、线面、面面平行的判定与性质定理即可证明．

解答：证明：（1）连接DB，由菱形ABCD可得AB=AD，又∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，
∵P为AB的中点，∴DP⊥AB．
∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥DP．
又AA₁∩AB=A，∴DP⊥平面A₁ABB₁．
（2）取CD的中点E，连接PE，EQ，又Q为CD₁的中点，根据三角形的中位线定理可得EQ∥DD₁，
∵EQ?平面ADD₁A₁．DD₁?平面ADD₁A₁．
∴EQ∥平面ADD₁A₁．
由于平行四边形APED可得EP∥AD，同理可得EP∥平面ADD₁A₁．
∵EP∩EQ=E，∴平面EPQ∥平面ADD₁A₁．∴PQ∥平面ADD₁A₁．

点评：熟练掌握菱形和等边三角形的性质、线面垂直的判定定理、三角形的中位线定理、平行四边形的性质、线面、面面平行的判定与性质定理是解题的关键．