Question

已知圆C₁：（x+1）²+y²=8，点C₂（1，0），点Q在圆C₁上运动，QC₂的垂直平分线交QC₁于点P．
（Ⅰ） 求动点P的轨迹W的方程；
（Ⅱ） 设M，N是曲线W上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率k；
（Ⅲ）过点且斜率为k的动直线l交曲线W于A，B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

解（1）∵QC₂的垂直平分线交QC₁于P，
∴|PQ|=|PC₂|，
|PC₂|+|PC₁|=|PC₁|+|PQ|=|QC₁|=2＞|C₁C₂|=2，
∴动点P的轨迹是点C₁，C₂为焦点的椭圆．
设这个椭圆的标准方程是，
∵2a=2，2c=2，∴b²=1，
∴椭圆的标准方程是．
（Ⅱ）设M（a₁，b₁），N（a₂，b₂），
则a₁²+2b₁²=2，a₂²+2b₂²=2．
∵，
则a₁+2a₂=-2，b₁+2b₂=0，
∴，，
∴直线MN的斜率为．
（Ⅲ）直线l的方程为y=kx-，联立直线和椭圆方程，得
，∴（1+2k²）x²-12kx-16=0，
由题意知，点S（0，-）在直线上，动直线l交曲线W于A、B两点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 ，
假设在y轴上存在定点D（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，
则 ，
，
∵，
∴x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=
=-
==0．
∴，∴m=1，
所以，在y轴上存在满足条件的定点D，点D的坐标为（0，1）．
分析：（I）由QC₂的垂直平分线交QC₁于P，知|PQ|=|PC₂|，动点P的轨迹是点C₁，C₂为焦点的椭圆．由此能够求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设M（a₁，b₁），N（a₂，b₂），则a₁²+2b₁²=2，a₂²+2b₂²=2．由，a₁+2a₂=-2，b₁+2b₂=0，由此能求出直线MN的斜率．
（Ⅲ）直线l的方程为y=kx-，联立直线和椭圆方程，得 ，整理得（1+2k²）x²-12kx-16=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 ，假设在y轴上存在定点D（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，，由此能够求出D点坐标．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．