Question

4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），ab=2$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A为椭圆的左顶点，过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，AN与直线x=4交于P，Q两点．证明：以PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由对称性，若定点存在，则定点在x轴上，设直线MN的方程为：x=ty+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，再设T（m，0）在以PQ为直径的圆上，则TP⊥TQ，即$\overrightarrow{TP}$•$\overrightarrow{TQ}$=0．运用向量的数量积的坐标表示，代入韦达定理，化简整理，即可得到m=1或7，可得定点．

解答 解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}{ab=2\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，∴a²=4，b²=3．
所以，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．               
（Ⅱ）证明：由对称性，若定点存在，则定点在x轴上，
设直线MN的方程为：x=ty+1，
代入椭圆方程得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则y₁+y₂=$\frac{-6t}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{t}^{2}+4}$，①
再设T（m，0）在以PQ为直径的圆上，
则TP⊥TQ，即$\overrightarrow{TP}$•$\overrightarrow{TQ}$=0．
∵$\overrightarrow{TP}$=（4-m，$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），$\overrightarrow{TQ}$=（4-m，$\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$），
∴（4-m）²+$\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=（4-m）²+$\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（t{y}_{1}+3）（t{y}_{2}+3）}$=（4-m）²+$\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{{t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+3t（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}$
代入①化简可得（4-m）²-9=0，
解得m=1或m=7，
所以，以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）或（7，0）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查向量垂直的条件，以及化简整理的运算能力，属于中档题．