Question

16．如图，从宾馆A到火车站B有A-C-B、A-D-B两条路线．出租车司机准备开车从宾馆送某旅客到火车站，若各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示（例如A-C-B算作两个路段；路段AC发生堵车事件的概率为$\frac{1}{10}$，路段CB发生堵车事件的概率为$\frac{1}{8}$）．
（1）请你为该出租车司机选择一条由A到B的路线，
使得途中发生堵车事件的概率较小；
（2）若记路线A-C-B中遇到堵车路段的个数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

分析 （1）运用独立事件同时发生的概率公式求解，先求解堵车的概率，运用对立事件求解，再比较即可．
（2）确定路线A-C-B中遇到堵车路段的个数为ξ=0，1，2
运用互斥事件，独立事件的概率公式求解即可，得出分布列，数学期望．

解答 解：（1）根据题意得出：A-C-B堵车的概率为：P₁=1-（1-$\frac{1}{10}$）×（1-$\frac{1}{8}$）=1-$\frac{63}{80}$=$\frac{17}{80}$，
A-D-B堵车的概率为：P₂=1-（1-$\frac{1}{12}$）×（1-$\frac{1}{5}$）=1-$\frac{11}{15}$=$\frac{4}{15}$，
∵$\frac{17}{80}$$-\frac{4}{15}$=$\frac{17×15-4×80}{80×15}$=$\frac{255-320}{80×15}$＜0，
∴$\frac{17}{80}$$＜\frac{4}{15}$，
∴A-C-B堵车的概率小，
（2）∵记路线A-C-B中遇到堵车路段的个数为ξ=0，1，2
∴P（ξ=0）=$\frac{63}{80}$，
P（ξ=1）=$\frac{1}{10}$×$\frac{7}{8}$$+\frac{9}{10}$×$\frac{1}{8}$=$\frac{16}{80}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{10}$×$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{80}$，

ξ	0	1	2
P	$\frac{63}{80}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{80}$

Eξ=0×$\frac{63}{80}$$+1×\frac{1}{5}$$+2×\frac{1}{80}$=$\frac{9}{40}$

点评 本题考察了学生的识图能力，运用图形解决问题的能力，离散型的概率分布数学期望的求解，考察了计算分析问题能力．