Question

【题目】如图①，已知矩形ABCD满足AB=5，，沿平行于AD的线段EF向上翻折（点E在线段AB上运动，点F在线段CD上运动），得到如图②所示的三棱柱.

⑴若图②中△ABG是直角三角形，这里G是线段EF上的点，试求线段EG的长度x的取值范围；

⑵若⑴中EG的长度为取值范围内的最大整数，且线段AB的长度取得最小值，求二面角的值；

⑶在⑴与⑵的条件都满足的情况下，求三棱锥A-BFG的体积.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

⑴由题设条件可知△AEG、△BEG均为直角三角形，

因此，.

由余弦定理.

于是.

.

所以，.

又对任意，，.

则，故x的取值范围为.

⑵因为AE⊥EF，BE⊥EF，所以∠AEB就是二面角C-EF-D的平面角

又由⑴知EG的长度x为的最大整数，因此x=2.

于是，（）.

因此t=2.5时，线段AB的长度取得最小值.

由此得，.

⑶由⑴、⑵知，，，

且.

因为AE⊥EF，BE⊥EF，.

所以EF⊥平面EAB，故

.