Question

在直角坐标系中，A（3，0），B（0，3），C（2cosθ，2sinθ）
（1）若

AC

⊥

BC

，求sin2θ的值；
（2）

AC

与

BC

能否共线？说明理由．

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,平行向量与共线向量

专题：平面向量及应用

分析：（1）由已知条件求出

AC

=(2cosθ-3，2sinθ)，

BC

=(2cosθ，2sinθ-3)，由

AC

⊥

BC

，得

AC

•

BC

=2cosθ(2cosθ-3)+2sinθ（2sinθ-3）=0，由此能求出sin2θ=-

5

9

．
（2）若

AC

与

BC

共线，则

2cosθ-3

2cosθ

=

2sinθ

2sinθ-3

，从而得sinθ+cosθ=

3

2

不成立，故

AC

与

BC

不能共线．

解答： 解：（1）∵在直角坐标系中，A（3，0），B（0，3），C（2cosθ，2sinθ），
∴

AC

=(2cosθ-3，2sinθ)，

BC

=(2cosθ，2sinθ-3)，
∵

AC

⊥

BC

，∴

AC

•

BC

=0，
∴

AC

•

BC

=2cosθ(2cosθ-3)+2sinθ（2sinθ-3）=0，
∴4cos²θ-6cosθ+4sin²θ-6sinθ=4-6（cosθ+sinθ）=0，
∴sinθ+cosθ=

2

3

，
∴1+2sinθcosθ=

4

9

，
∴sin2θ=-

5

9

．
（2）∵

AC

=(2cosθ-3，2sinθ)，

BC

=(2cosθ，2sinθ-3)，
∴若

AC

与

BC

共线，则

2cosθ-3

2cosθ

=

2sinθ

2sinθ-3

，
∴4sinθcosθ=4sinθcosθ-6cosθ-6sinθ+9，
∴sinθ+cosθ=

3

2

，
∵sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，
∴sinθ+cosθ=

3

2

不成立，
∴

AC

与

BC

不能共线．

点评：本题考查向量垂直和向量共线的条件的应用，是中档题，解题题时要认真审题，注意三角函数的性质的灵活运用．