Question

已知圆A：（x+2

2

）²+y²=64，动圆M过点B（2

2

，0），且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹为曲线C
（1）求C的方程；
（2）点P是曲线C上横坐标大于2的动点，点D，E在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PDE，求△PDE面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）圆心A（-2

2

，0），半径r₁=8，动圆M的圆心为M（x，y），半径为r₂，依题意有r₂=|MB|，从而推导出点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设P（x₀，y₀），（2＜x₀≤4），D（0，m），E（0，n），设m＞n，直线PD的方程为（y₀-m）x-x₀y+x₀m=0，又（x₀-2）m²+2y₀m-x₀=0，(x0-2)x2+2y0x-x0=0．由此能求出△PDE的面积的最小值．

解答： 解：（1）圆A：（x+2

2

）²+y²=64的圆心A（-2

2

，0），半径r₁=8，
动圆M的圆心为M（x，y），半径为r₂，
依题意有r₂=|MB|，
由|MB|=4

2

，知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，
∴|MA|=r₁-r₂，即|MA|+|MB|=8，
∴点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
由2a=8，2c=4

2

，得a=4，c=2

2

，b²=16-8=8，
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

8

=1．
（2）设P（x₀，y₀），（2＜x₀≤4），D（0，m），E（0，n），设m＞n，
直线PD的方程为y-m=

y0-m

x0

x，
即（y₀-m）x-x₀y+x₀m=0，
又圆心（1，0）到直线PD的距离为1，即

|y0-m+x0m|

(y0-m)2+x02

=1，
x₀＞2，化简，得：
（x₀-2）m²+2y₀m-x₀=0，
同理(x0-2)x2+2y0x-x0=0．
∴m，n是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两个根，
∴m+n=-

2y0

x0-2

，mn=-

x0

x0-2

，
∴（m-n）²=（m+n）²-4mn=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

，
又∵

x02

16

+

y02

8

=1，∴2y02=16-x02，
∴（m-n）²=

2x02-8x0+32

(x0-2)2

，
设△PDE的面积为S，
则S2-

1

4

(m-n)2x0   2=

x02-4x0+16

2(x0-2)2

x02=

(x0-2)2+12

2(x0-2)2

x02，
令x₀-2=t，（0＜t≤2），则x₀=t+2，
记f（t）=

(t2+12)(t+2)2

2t2

，
则f′(t)=

(t-2)(t2-24)

t3

＜0，∴f（t）在（0，2]上单调递减，
当t=2，即x₀=4时，f（t）_min=f（2）=32，∴Smin=4

2

，
∴△PDE的面积的最小值为4

2

．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．