Question

点P在圆x²+y²=2上移动，PQ⊥x轴于Q，动点M满足

QP

=

2QM

，
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若动直线x-

2

y+m=0与曲线C交于A，B两点，在第一象限内曲线C上是否存在一点M使MA与MB的斜率互为相反数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设动点M（x，y），P（x₀，y₀），则Q（x₀，0），由

QP

=

2 OM

，得（0，y0 ）=

2

(x-x0，y)，从而得到

x0=x y0= 2 y

，代入x02+y02=2，能求出动点M所在曲线C的方程．
（Ⅱ）由

x- 2 y+m=0 x2+2y2=2

，得2x²+2mx+m²-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出存在M（1，

2

2

），使MA，MB的斜率互为相反数．

解答： 解：（Ⅰ）设动点M（x，y），P（x₀，y₀），则Q（x₀，0），
由

QP

=

2 OM

，得（0，y0 ）=

2

(x-x0，y)，
∴

2 (x-x0)=0 2 y=y0

，解得

x0=x y0= 2 y

，
代入x02+y02=2，得x²+2y²=2．
∴动点M所在曲线C的方程为

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）由

x- 2 y+m=0 x2+2y2=2

，得2x²+2mx+m²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线与曲线交于两点，
∴

△=4m2-8(m2-2)＞0 x1+x2=-m x1x2= m2-2 2

，
∴y1+y2=

2

2

(x1+x2+2m)=

2

2

m，
y1y2=

1

2

(x1+m)(x2+m)=

m2-2

4

，
假设存在M（x′，y′）使MA的斜率与MB的斜率互为相反数，即k_MA+k_MB=0，

y′-y1

x′-x1

+

y′-y2

x′-x2

=

2x′y′-y′(x1+x2)+x2y1+x1y2

(x′-x1)(x′-x2)

=0，
2x′y′-y′(x1+x2)-x′(y1+y2)+x2y1+x1y2=0，
2x′y′-y′(x1+x2)-x′(y1+y2)+2

2

y1y2-m(y1+y2)=0，
2x′y′+my′-

2

2

mx′-

2

=0，
m（y′-

2

2

x′）+2x′y′-

2

=0．…（9分）
∵与m无关，∴

y′- 2 2 x′=0 2x′y′- 2 =0

，
又M在第一象限，∴x′=1．y′=

2

2

，…（11分）
又M（1，

2

2

）在曲线C上，
故存在M（1，

2

2

），使MA，MB的斜率互为相反数．…（12分）

点评：本题考查定点轨迹方程的求法，考查使两条直线的斜率互为相反数的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．