Question

已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值．
（2）证明：对任意的实数b，函数y=f（x）图象与直线y=-

3

2

x+b最多只有一个公共点．

Answer 1

考点：函数的零点,函数图象的作法,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据偶函数可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）由（1）中结论，可以得到函数的解析式，构造函数y=log₄（4^x+1）-x，分析出函数的单调性及值域，根据函数零点的判定方法，我们易确定b取不同值时，函数零点个数，进而得到答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
∵log₄（4^-x+1）=log₄（

4x+1

4x

）=log₄（4^x+1）-log₄4^x=log₄（4^x+1）-x，
∴log₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx，
即2k+1=0
∴k=-

1

2

证明：（2）由（1）得f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x
令y=log₄（4^x+1）-x
由于y=log₄（4^x+1）-x为减函数，且恒为正
故当b＞0时，y=log₄（4^x+1）+

3

2

x-b有唯一的零点，此时函数y=f（x）的图象与直线有一个交点，
当b≤0时，y=log₄（4^x+1）+

3

2

x-b没有零点，此时函数y=f（x）的图象与直线没有交点
对任意的实数b，函数y=f（x）图象与直线y=-

3

2

x+b最多只有一个公共点．

点评：本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，由于综合考查了多个函数的难点，属于难题