Question

已知关于x的实系数一元二次方程2x²-4（m-1）x+m²+1=0．
（1）若方程的两根为x₁、x₂，且|x₁|+|x₂|=2，求m的值；
（2）若方程有虚根z，且z³∈R，求m的值．

Answer 1

考点：实系数多项式虚根成对定理,复数求模

专题：

分析：（1）当△≥0，求得m的范围，由x1+x2=

m2+1

2

＞0，可知两根同号，从而|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=2，从而求得m的值．当△＜0时，求得m的范围，此时方程有两个共轭复根，由|x₁|+|x₂|=2可得|x₁|=1，进而1=|x1|2=x1x2=

m2+1

2

，解得m的值，综合可得结论．
（2）由题意2z²-4（m-1）z+m²+1=0 （I），从而2z³-4（m-1）z²+（m²+1）z=0 （II）．由（I）、（II）联立消去z²，根据z为虚数，且z³∈R，从而（m²+1）-8（m-1）²=0，可得7m²-16m+7=0，由此求得m的范围．

解答： 解：（1）当△≥0，即m∈(-∞，2-

3

]∪[2+

3

，+∞)，由x1+x2=

m2+1

2

＞0，可知两根同号，
从而|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=2，求得 2（m-1）=±2，解得m=0或m=2（舍）．
当△＜0，可得 m∈(2-

3

，2+

3

)，此时方程有两个共轭复根，故|x₁|=|x₂|，且由|x₁|+|x₂|=2可得|x₁|=1，
进而1=|x1|2=x1x2=

m2+1

2

，解得m=1或m=-1（舍）；
从而综上所述：m=0，或m=1．
（2）由题意2z²-4（m-1）z+m²+1=0 （I），从而2z³-4（m-1）z²+（m²+1）z=0 （II）．
由（I）、（II）联立消去z²，可得2z³+[（m²+1）-8（m-1）²]z+2（m²+1）（m-1）=0
由于z为虚数，且z³∈R，从而（m²+1）-8（m-1）²=0，可得7m²-16m+7=0，
解得m=

8± 15

7

．

点评：本题主要考查实系数的一元二次方程求根问题，韦达定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．