Question

多面体ABCDE中，△ABC为正三角形，ACED为梯形，AD∥CE，AD⊥AC，AD=AC=2CE=2，BD=2．
（1）判断直线BD与AE是否垂直，说明理由．
（2）求E点到平面ABD的距离．
（3）求平面ABC与平面BDE所成锐角二面角的大小．

Answer 1

解（1）AB=AD=2，BD=2，
AB²+AD²=BD²，AD⊥AB．
AD⊥AC，得AD⊥面ABC．
取AC中点F，连接BF，则BF⊥AC，
AD⊥BF，得BF⊥面ACE．
在RT△ACE 中，∠CAE+∠AEC=90°，
又△DAF≌△ACE，∠AFD=∠AEC，∴∠CAE+∠AFD=90°
得AE⊥FD，又FD是BD在面ACEF上的射影，
∴BD⊥AE．
（2）V_E-ABD=V_B-ADE，•h•S_△ABD=•BE•S_△ADE
即•h••2•2=••2
h=，求E点到平面ABD的距离为．
（3）延长AC交DE延长线于G，连接BG．


在△ABG中，BC=AC=CG，∴∠ABG=90°，即 AB⊥BG，
在△DBG中，DB=，ED=，BG²=BF²+FG²=3+9=12，DB²+BG²=DG²，∴∠DBG=90°，即DB⊥BG，
∴∠DBA即为平面ABC与平面BDE所成锐角二面角的平面角，∠DBA=45°．
平面ABC与平面BDE所成锐角二面角的大小为45°．
分析：（1）取AC中点F，连接BF，在先证得AD⊥面ABC的基础上，得出BF⊥面ACE，FD是BD在面ACEF上的射影，在证出AE⊥FD后，由三垂线定理，得出BD⊥AE．
（2）利用等体积法，V_E-ABD=V_B-ADE，•h•S_△ABD=•BE•S_△ADE计算
（3）延长AC交DE延长线于G，连接BG．可以证明∠DBA即为平面ABC与平面BDE所成锐角二面角的平面角，在△BAD中求解即可．
点评：本题考查空间直线位置关系的判断，点面距、二面角的大小计算．等体积法求点面距的好处在于不用作出点到面的垂线段．对于无棱二面角求解，可适当延展平面，使两半平面交线出现，增加直观性，便于计算． 考查空间形象能力、计算、转化能力．空间问题转化为平面问题是解决空间几何体最核心的思想方法．