Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是BC的中点，BC=BB₁．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）试在棱CC₁上找一点M，使MB⊥AB₁．

Answer 1

证明：（1）连接A₁B，交AB₁于点O，连接OD．
∵O、D分别是A₁B、BC的中点，
∴A₁C∥OD．
∵A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（2）M为CC₁的中点．
证明如下：
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，∴四边形BCC₁B₁是正方形．
∵M为CC₁的中点，D是BC的中点，∴△B₁BD≌△BCM，
∴∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB．
又∵，，∴BM⊥B₁D．
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C．
∵BM?平面BB₁C₁C，
∴AD⊥BM．
∵AD∩B₁D=D，
∴BM⊥平面AB₁D．
∵AB₁?平面AB₁D，
∴MB⊥AB₁．
分析：（1）证明：连接A₁B，交AB₁于点O，连接OD．因为O、D分别是A₁B、BC的中点，所以A₁C∥OD． 所以A₁C∥平面AB₁D．
（2）由题意得：四边形BCC₁B₁是正方形．因为M为CC₁的中点，D是BC的中点，所以△B₁BD≌△BCM，所以∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB．所以BM⊥B₁D． 因为△ABC是正三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为AD⊥平面BB₁C₁C．且BM?平面BB₁C₁C，所以AD⊥BM．利用线面垂直的判定定理可得BM⊥平面AB₁D．
点评：证明线面平行关键是在面内找到与已知直线平行的直线即可，解决探索性找点问题一般用检验的方法先检验线段的端点与中点再证明即可，也可以利用空间向量来解决这种探索性问题．