Question

已知数列{a_n}中，a₁=-60，a_n+1=3a_n+2，
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）因为数列{a_n}不是特殊的数列，所以可用构造法，构造一个新数列，使其具有一定的规律．通过观察，可以发现，a_n+1+1=3（a_n+1）所以可设b_n=a_n+1，，则b_n+1=a_n+1+1，即：b_n+1=3b_n，则新数列为等比数列，求出新数列的通项公式，再根据新数列的通项公式求数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）中所求数列{a_n}的通项公式，可以用分组求和来求数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）由a_n+1=3a_n+2，得：a_n+1+1=3（a_n+1）
设b_n=a_n+1，，则b_n+1=a_n+1+1，即：b_n+1=3b_n，
所以数列{b_n}是首项b₁=a₁+1=-60+1=-59，公比q=3的等比数列∴b_n=b₁•q^n-1=-59•3^n-1又b_n=a_n+1，∴a_n=-59•3^n-1-1
（2）数列{a_n}的通项公式a_n=-59•3^n-1-1，则

Sn=a1+a2+a3+…+an =(-59•30-1)+(-59•31-1)+(-59•32-1)+…+(-59•3n-1-1)

=-59(1+3+32+…+3n-1)-n =- 59 2 •3n-n+ 59 2

点评：本题考查了构造法求数列的通项公式，以及分组求和．