Question

已知中心在原点的椭圆的一个焦点F₁（0，-2

2

），又过点（-1，0），且离心率e满足

2

3

，e，

4

3

成等比数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-

1

2

平分？若存在，求出l的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用离心率e满足：

2

3

，e，

4

3

成等比数列，可求离心率，结合焦点F₁（0，-2 

2

），求出几何量，即可求椭圆方程；
（2）假设存在直线l，设出方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合根的判别式，即可得到结论．

解答： 解：（1）依题意，∵

2

3

，e，

4

3

成等比数列，∴e=

2 2

3

．
又F₁（0，-2

2

），c=2

2

，∴a=3，
∴b=

a2-c2

=1，
∴所求方程为x²+

1

9

y²=1，（-1，0）满足椭圆方程，
∴所求方程为x²+

1

9

y²=1．
（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=-

1

2

平分，
∴直线l的斜率存在．
设直线l：y=kx+m，则
由

y=kx+m x2+ 1 9 y2=1

消去y，整理得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0
∵l与椭圆交于不同的两点M，N，
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即m²-k²-9＜0①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

2km

k2+9

∴

x1+x2

2

=

-km

k2+9

=-

1

2

，∴m=

k2+9

2k

②
把②代入①式中得(

k2+9

2k

)2-（k²+9）＜0
∴k＞

3

或k＜-

3

∴直线l倾斜角α∈（

π

3

，

π

2

）∪（

π

2

，

2π

3

）．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．