Question

已知函数f（x）=（x-2a）（x-a-1）．
（I）当a＞1时，解关于x的不等式f（x）≤0；
（II）若?x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）通过解方程求出方程的两个根，利用当a＞1时，解关于x的不等式f（x）≤0；
（II）对a=1与a＞1与a＜1，利用?x∈（5，7），通过不等式f（x）≤0恒成立，列出不等式组，求实数a的取值范围．

解答：解：（I）令（x-2a）（x-a-1）=0．
得x₁=2a，x₂=a+1，-------------（1分）
x₁-x₂=a-1，
因为a＞1，所以a-1＞0，即2a＞a+1，-------------（2分）
由f（x）=（x-2a）（x-a-1）≤0，解得a+1≤x≤2a．-------------（4分）
（II）当a=1时，2a=a+1，f（x）=（x-2）²，不符合题意．-----（5分）
当a＞1时，2a＞a+1，若?x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，
则有

a+1≤5 2a≥7

 解得

7

2

≤a≤4．-------------（7分）
当a＜1时，2a＜a+1，若?x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，
则有

a+1≥7 2a≤5

，a无解．------------（9分）
综上，实数a的取值范围是

7

2

≤a≤4．-------------（10分）

点评：本题考查函数恒成立二次不等式的解法，分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．