Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P为A₁C₁的中点，AB=BC=kPA．
（I）求三棱锥P-AB₁C与三棱锥C₁-AB₁P的体积之比；
（II）当k为何值时，直线PA⊥B₁C．

Answer 1

分析：（I）B₁P是三棱锥B₁-PAC的高，B₁P是三棱锥B₁-PAC的高，
利用VP-AB1C=VB1-PAC=

1

3

•S△PAC•B1P以及
VC1-AB1P=VA-B1PC1=

1

3

•S△B1PC1•AA1求三棱锥P-AB₁C与三棱锥C₁-AB₁P的体积之比；
（II）证明k=1，AP⊥面B₁PC，推出直线PA⊥B₁C．

解答：解：
（I）由B₁P⊥面A₁C，
得B₁P是三棱锥B₁-PAC的高，
又∵AA₁⊥面A₁B₁C₁，∴AA₁是三棱锥A-B₁PC₁的高．VP-AB1C=VB1-PAC=

1

3

•S△PAC•B1P（2分）VC1-AB1P=VA-B1PC1=

1

3

•S△B1PC1•AA1（4分）

VP-AB1C

VC1-AB1P

=

1 3 •S△APC•B1P

1 3 •SB1PC1•AA1

=

AC

PC1

=2，
所以三棱锥P-AB₁C与三棱锥C₁-AB₁P的体积之比是2．（6分）
（II）要使直线AP⊥B₁C，
只需AP⊥面B₁PC．
因为B₁P⊥面A₁C，
所以B₁P⊥AP．
所以只需PA⊥PC．（9分）∵PA=PC，所以只需PA=

2

AC，
又AC=

2

AB，AB=BC=kPA，∴k=1．（11分）
反知，当k=1时，AP⊥面B₁PC，
所以AP⊥B₁C成立．（11分）

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力，是中档题．