Question

经过点A(4，0)是否存在直线l，使抛物线y²＝2(x－2)上总有两点关于l对称？若存在，求出直线l的斜率的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：这样的直线显然是存在的，x轴就满足要求， 　　此时k＝0． 　　设直线l的方程为y＝k(x－4)(k≠0)．　　① 　　点P1、P2在抛物线上，且关于直线l对称，则直线P1P2的方程可以表示成y＝－x＋b　　② 　　联立①，②可得y2＋2ky－(2kb－4)＝0　　③ 　　再设P1P2的中点为P(x0，y0)，则 　　y0＝＝－k． 　　∴x0＝－k(y0－b)＝k(k＋b)． 　　∵点P在直线上， 　　∴－k＝k(k2＋kb－4)． 　　∵k≠0，∴k2＋kb＝3．　　④ 　　由③的根的判别式Δ＞0得k2＋2kb－4＞0．　　⑤ 　　从④，⑤中消去b得k2＜2． 　　∴{k|－＜k＜，且k≠0}． 　　综合以上，所求k的范围是{k|－＜k＜}．

提示：

评注：本题解法较多，请同学思考能否用其他方法解决？