Question

13．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，A=2B，试求$\frac{a}{b}$的取值范围$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 由题意和内角和定理表示出C，由锐角三角形的条件列出不等式组，求出B的范围，由正弦定理和二倍角的正弦公式化简$\frac{a}{b}$，由余弦函数的图象与性质求出答案．

解答 解：∵A=2B，A+B+C=π，∴C=π-3B，
∵△ABC是锐角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜2B＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{4}$，
由正弦定理得，$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{sin2B}{sinB}$
=$\frac{2sinBcosB}{sinB}$=2cosB，
由$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{4}$得，$\frac{\sqrt{2}}{2}＜$ cosB $＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$\sqrt{2}＜\frac{a}{b}＜\sqrt{3}$，
∴$\frac{a}{b}$的取值范围是$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，
故答案为：$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，内角和定理，以及余弦函数的图象与性质，考查转化思想，化简、变形能力．