Question

4．（1）从5种颜色中选出三种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数；
（2）从5种颜色中选出四种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．

Answer 1

分析 （1）首先给顶点P选色，有5种结果，再给A选色有4种结果，再给B选色有3种结果，最后分两种情况即C与A同色与C与A不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果．
（2）四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染色互不相同，则A、C可以颜色相同，B、D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同．所以，先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B、D颜色相同）；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在S、A、B、C四个顶点上．

解答 解：（1）四棱锥为P-ABCD．底面对角线的端点同色的染色方法 P：C₅¹，A：C₄¹，B：C₃¹，
故共有C₅¹•C₄¹•C₃¹•C₃¹ 种．
由分步计数原理可得不同的染色方法总数有：C₅¹•C₄¹•C₃¹=60．
（2）由题意知，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染色互不相同，则A、C可以颜色相同，B、D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同．所以，先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B、D颜色相同）；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在S、A、B、C四个顶点上，有5×4×3×2=120（种）涂法；根据分步乘法计数原理，共有2×120=240（种）不同的涂法．

点评 本题主要排列与组合及两个基本原理，总结此类问题的做法，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，属于中档题．