Question

已知数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），它的前n项和为S_n，且a₃=5，S₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=6ⁿ+（-1）^n-1λ•2a_n（λ为正整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的定义和通项公式、前n项和公式即可得出；
（2）利用（1）的结论，通过作差b_n+1-b_n并对n分奇偶讨论即可得出．

解答：解：（1）∵对于?n∈N^*，都有2a_n+1=a_n+a_n+2，∴数列{a_n}是等差数列，设公差为d，
∵a₃=5，S₆=36，∴

a1+2d=5 6a1+ 6×5 2 d=36

，解得

a1=1 d=2

．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（n∈N^*）．
（2）由（1）可得：bn=6n+(-1)n-1λ•2(2n-1)，（λ为正整数，n∈N^*），
∴b_n+1-b_n=6ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2（2n+1）-[6ⁿ+（-1）^n-1λ•2（2n-1）]
=5×6ⁿ+（-1）ⁿλ×4，
当n为偶数时，∵λ为正整数，∴b_n+1-b_n＞0成立；
当n奇数时，要使5×6ⁿ-4λ＞0恒成立，则λ＜[

5×6n

4

]min，
∵

5×6n

4

关于n单调递增，∴当n=1时，取得最小值

5×6

4

=

15

2

，又λ为正整数，取λ=7，6，5，4，3，2，1．
∴当λ=7，6，5，4，3，2，1时，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

点评：熟练掌握等差数列的定义和通项公式、前n项和公式、作差法、分类讨论的思想方法是解题的关键．