Question

已知双曲线-=1的离心率e＞1+，左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项？

Answer 1

解：设在左支上存在P点，使|PF₁|²=|PF₂|•d，由双曲线的第二定义知
==e，即|PF₂|=e|PF₁|①
再由双曲线的第一定义，得|PF₂|-|PF₁|=2a．②
由①②，解得|PF₁|=，|PF₂|=，
∵|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，
∴+≥2c．③
利用e=，由③得e²-2e-1≤0，
解得1-≤e≤1+．
∵e＞1，
∴1＜e≤1+与已知e＞1+矛盾．
∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项．
分析：设左支上存在P点，由双曲线的第二定义知|PF₂|=e|PF₁|，再由双曲线的第一定义，得|PF₂|-|PF₁|=2a由此推导出e²-2e-1≤0，解得1＜e≤1+与已知e＞1+矛盾．从而断定在双曲线左支上找不到点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项．
点评：本题是双曲线的综合题，综合利用双曲线的第一定义和第二定义求解，在解题时要注意反证法的运用．