Question

已知f（x）=x²+2x+3，g（x）=log_5m-2x命题p：当x∈R时，f（x）＞m恒成立．  命题q：g（x）在（0，+∞）上是增函数．
（1）若命题q为真命题，求m的取值范围；
（2）若命题p为真命题，求m的取值范围；
（3）若在p∧q、p∨q中，有且仅有一个为真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若命题q为真命题，说明f（x）的最小值也要大于m，因此只要求出f（x）在R上的最小值，即可得m的取值范围；
（2）若命题p为真命题，说明对数函数的底数为大于1的正数，因此可求出m的取值范围；
（3）若在p∧q、p∨q中，有且仅有一个为真命题，说明“p真q假““p假q真“，结合（1）（2）的结论可以得出m的取值范围．

解答：解：
（1）若命题q为真命题，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则5m-2＞1，∴m＞

3

5

…（2分）
（2）当x∈R时，f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2≥2，f（x）的最小值为2    …（4分）
若命题p为真命题，即f（x）＞m恒成立，则m＜2…（6分）
（3）在p∧q、p∨q中，有且仅有一个为真命题，则可能有两种情况：p真q假、p假q真，…（7分）
①当p真q假时，由

m＜2 m≤ 3 5

得m≤

3

5

…（9分）
②当p假q真时，由

m≥2 m＞ 3 5

得m≥2…（11分）
综上知，m的取值范围为(-∞，

3

5

]∪[2，+∞)…（12分）

点评：本题考查了含有逻辑连接词的命题真假的判断，属于基础题．在两个命题p和q一真一假时，p∧q为假命题，p∨q为真命题，应该抓住这个实质．