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已知x,y∈R.求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

证明(充分性)
若xy≥0,则x,y至少有一个为0或同号.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.
(必要性)若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,
∴xy=|xy|,∴xy≥0.综上,命题得证
证明(充分性)
若xy≥0,则x,y至少有一个为0或同号.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.
(必要性)若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,
∴xy=|xy|,∴xy≥0.综上,命题得证.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义在R上的函数f(x)满足:,f(1)=
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,且对于任意实数x,y,总有f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)成立.
(I)求f(0)的值,并证明函数f(x)为偶函数;
(II)定义数列{an}:an=2f(n+1)-f(n)(n=1,2,3,…),求证:{an}为等比数列;
(III)若对于任意非零实数y,总有f(y)>2.设有理数x1,x2满足|x1|<|x2|,判断f(x1)和f(x2)的大小关系,并证明你的结论.

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已知x,y∈R,且|x|<1,|y|<1,

求证:.

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