Question

6．已知函数f（x）=x³+2^x（x∈R）．给出下列结论：
①f（x）为R上的增函数；
②若a，b∈R，a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）；
③若a，b∈R，f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0；
④若f（log₄k）+f（1）≥f（log_0.25k）+f（-1），则实数k的取值范围是[$\frac{1}{4}$，+∞）．
其中正确结论的序号是①②③④．

Answer 1

分析 容易判断x³和2^x都为增函数，从而f（x）在R为增函数，而由a+b≥0得到a≥-b，且b≥-a，从而f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），而根据该结论利用反证法即可说明结论③正确，而根据结论③便有log₄k+1≥0，从而得出k$≥\frac{1}{4}$，最后便可得出所有结论都正确．

解答 解：①x³在R上为增函数，2^x在R上为增函数，∴f（x）=x³+2^x在R上为增函数，∴该结论正确；
②由①知f（x）在R上为增函数，a+b≥0，∴a≥-b，b≥-a；
∴f（a）≥f（-b），且f（b）≥f（-a），∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）；
∴该结论正确；
③若a+b＜0，则a＜-b，且b＜-a；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）＜f（-b）}\\{f（b）＜f（-a）}\end{array}\right.$；
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），与已知f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）矛盾；
∴a+b≥0；
∴该结论正确；
④$lo{g}_{0.25}k=\frac{lo{g}_{4}k}{lo{g}_{4}{4}^{-1}}=-lo{g}_{4}k$，∴由结论③便得log₄k+1≥0；
∴$lo{g}_{4}k≥lo{g}_{4}\frac{1}{4}$；
∴$k≥\frac{1}{4}$；
∴该结论正确；
∴正确结论的序号为：①②③④．
故答案为：①②③④．

点评 考查y=x³和指数函数的单调性，知道f（x），g（x）在区间I上为增函数时，f（x）+g（x）在I上也为增函数，函数单调性定义的运用，在直接说明结论成立不好说时可考虑反证法，以及对数的换底公式，想着运用已判断出的正确结论．